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一、培养了哪些数学思想：
1．符号思想。数学课程标准要求，在小学阶段要培养和发展学生的符号感，我们知道，运用一套合适的符号，可以清晰、准确、简洁地表达数学思想、概念、方法和法则，避免日常语言的繁复、冗长或含混不清，从而简化数学运算或推理过程，加快数学思维的速度，促进数学思想的交流。如讲到乘法的诸多运算律时，就把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆、便于运用。
2.数形结合思想方法。数形结合思想是充分利用“形”把一定的数量关系形象地表示出来。即通过作一些如线段图、树形图、长方形面积图或集合图来帮助学生正确理解数量关系，使问题简明直观。如诸多的行程问题，我们就可以用线段图来清楚的让学生直接感知到总路程、已行路程和剩下路程之间的关系；再如分数应用题的解答，用圆形图或者线段图表示整体与部分的关系，让学生的解答问题是一目了然，显而易懂，对学生的思维和想象能力大有提高。
3.分类思想方法。分类思想也是对小学生培养的一种重要思想方法。一般分类时要求满足互斥，无遗漏、最简便的原则。如整数以能否被2整除为例，可分为奇数和偶数；若以自然数的约数个数来分类，则可分为质数、合数和1。几何图形中的分类更常见，如学习“角的分类”时，涉及到许多概念，而这些概念之间的关系培养着量变到质变的规律。其中几种角是按照度数的大小，从量变到质变来分类的，由此推理到在三角形中以最大一个角大于、等于和小于90°为分类标准，可分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。而三角形以边的长短关系为分类标准，又可分为不等边三角形和等边三角形，等边三角形又可分为正三角形和等腰三角形。通过分类，建构了知识网络，不同的分类标准会有不同的分类结果，从而产生新的数学概念和数学知识的结构。
4．集合思想方法。现代的课堂教学，不仅仅要向学生传授知识，更为重要的是要把含在教材中的集合思想有意识地对学生进行培养，这样有利于培养学生的抽象概括能力，有利于提高学生分析和解决问题的能力。如：教学分类把某些具有共同属性的动物、植物和几何图形等分别用一个“圈”（封闭曲线）圈起来成为一个整体，这个整体就是集合。在教学求8和12的最大公约数时，可以制作课件或幻灯片，让学生从图中可以清楚直观地知道8和12的公约数是1、2和4，最大公约数是4，这样孕伏了交集的思想。
5．化归思想方法。就是在解决数学问题时，不是对问题进行直接进攻，而是采取迂回的战术，通过变形把要解决的问题，化归为某个已经解决的问题，从而求得原问题的解决。它的基本形式有：化难为易，化生为熟，化繁为简，化整为零，化曲为直等。在小学数学中蕴藏着各种可运用化归的方法进行解答的内容，让学生初步学会化归的思想方法。如：教学圆面积的计算方法，这里要推导出圆面积公式，在推导过程中，采用把圆分成若干等份，然后拼成一个近似长方形，从而推导出圆的面积公式。这里把圆剪拼成近似长方形的过程，就是把曲线形化归为直线形的过程。
6．建模思想方法。所谓数学模型是对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个目的，在作了一些必要的简化和假设之后运用适当的数学工具，并通过数学语言表达出来的一个数学结构。而数学建模思想就是把现实世界中有待解决或未解决的问题，从数学的角度发现问题、提出问题、理解问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，并综合运用所学的数学知识与技能求得解决的一种数学思想和方法。
二、我是怎样培养学生的数学思想的。
结合自己的教学实践，现在我向大家分享一下自己是如何在教学实践中培养和发展学生的各种数学思想的：
首先注重在知识形成过程中培养。像数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中，是有形的，而数学思想方法却隐含在数学知识体系里，是无形的，并且不成体系地分散在教材各章节之中。因此数学思想方法必须通过具体的教学过程加以实现。因此在教学中，我们要把握好在教学过程中对学生进行数学思想方法教学的契机，它时时应该渗透在每一个概念的形成过程中，每一种结论的推导过程中，每一道习题解题方法的思考过程、思路探索和规律揭示的过程中等，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的种种数学思想方法。
其次是要注重在问题解决过程中培养。数学思想方法存在于问题的解决过程中，数学问题的步步转化无不遵循着数学思想方法的指导。培养数学思想方法，不仅可以加快和优化问题解决的过程，而且还可以达到，会一题而明一路，通一类的效果。通过培养，尽量让学生达到对数学思想方法内化的境界，提高独立获取知识的能力和独立解决问题的能力。
再次是要注意在反复运用过程中培养。在解决学习重点、突破学习难点及解决具体数学问题中，数学思想方法是起着至关重要的作用，这些问题的解决过程，无一不是数学思想方法反复运用的过程，因此，时时注意数学思想方法的运用既有条件又有可能，这是进行数学思想方法教学行之有效的普遍途径．数学思想方法也只有在反复运用中，得到巩固与深化。总之，加强对学生数学思想方法的培养和训练，不仅是课程标准对我们提出的必然要求，也是为孩子学会学习提供的重要智力帮助，在平时的课堂教学中，重视加强对学生进行数学思想方法的培养不但有利于提高课堂教学效率，而且有利于提高学生的数学文化素养和思维能力。但是，我们也要清楚地认识到，对学生数学思想方法的培养，不是一朝一夕、一蹴而就的，而是需要有一个过程。因此，在教学过程中，要有机地结合数学知识的内容，做到持之以恒、循序渐进和反复训练，才能使学生真正地领悟数学思想方法。
如何培养低年级学生数学语言表达能力
数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。
小学数学教材中渗透的数学思想方法主要有：数形结合、集合、对应、分类、函数、极限、化归、归纳、符号化、数学建模、统计、假设、代换、比较、可逆等思想方法。教学中，要明确渗透数学思想方法的意义，认识数学思想方法是数学的本质之所在、是数学的精髓，只有方法的掌握、思想的形成，才能使学生受益终生。
下面我就如何向学生渗透这些数学思想方法分别举例说明一下。
一、数形结合思想方法
1.先形后数。一年级的小学生刚开始学习数学，是从具体的物体开始认数，从具体形象到抽象。
2.先数后形。如教学排队问题：一年级小同学排队做操，从前往后数，小明排第5，从后往前，小明排第4，这一对共有几人？小同学很容易地将4与5相加，得出错误的结果。如果让学生用画图的方法解答，用“△”代表排队的小朋友，这道题很容易解决。
二、对应思想
例如，求一个数比另一个数多（少）几的应用题的数量关系。对二年级学生来说较为抽象。我是这样设计的：苹果有8个，梨有6个，苹果比梨多几个？学生通过用○、△等学具代替苹果、梨摆一摆，或用画一画的方法得到了解决。
再如，数轴上的点与实数之间的一一对应等把抽象内容的数量关系视觉化、具体化、形象化，化深奥为浅显。同时，鼓励了学生的创新，使学生乐于参与这样的数学活动。
三、分类思想
分类是根据教学对象的本质属性的异同按某种标准，将其划分为不同种类，即根据教学对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类进行分析研究。分类是数学发现的重要手段，在教学中，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。一般分类时要求满足互斥，无遗漏、最简便的原则。如整数以能否被2整除为例，可分为奇数和偶数；若以自然数的约数个数来分类，则可分为质数、合数和1。几何图形中的分类更常见，如学习“角的分类”时，涉及到许多概念，而这些概念之间的关系渗透着量变到质变的规律。其中几种角是按照度数的大小，从量变到质变来分类的，由此推理到在三角形中以最大一个角大于、等于和小于90°为分类标准，可分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。而三角形以边的长短关系为分类标准，又可分为不等边三角形和等边三角形，等边三角形又可分为正三角形和等腰三角形。通过分类，建构了知识网络，不同的分类标准会有不同的分类结果，从而产生新的数学概念和数学知识的结构。
四、化归思想
化归是数学中最普遍使用的一种思想方法。它是通过变形把要解决的问题，化归为某个已经解决的问题，从而求得原问题的解决。其基本思想是：将待解决的问题甲，通过某种转化过程，归结为一个已经解决或者比较容易解决的问题乙，然后通过乙问题的解答返回去求得原问题甲的解答。这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”，它具有不可逆转的单向性。它的基本形式有：化难为易，化生为熟，化繁为简，化整为零，化曲为直等。在小学数学中蕴藏着各种可运用化归的方法进行解答的内容，让学生初步学会化归的思想方法。如：教学圆面积的计算方法，这里要推导出圆面积公式，在推导过程中，采用把圆分成若干等份，然后拼成一个近似长方形，从而推导出圆的面积公式。这里把圆剪拼成近似长方形的过程，就是把曲线形化归为直线形的过程。
再如平行四边形的面积推导，当我通过创设情境使学生产生迫切要求出平行四边形面积的需要时，便将“怎样计算平行四边形的面积”直接抛向学生，让学生独立自由地思考。这个完全陌生的问题，需学生调动所有的相关知识及经验储备，寻找可能的方法，解决问题。当学生将没有学过的平行四边形的面积计算转化成已经学过的长方形的面积的时候，要让学生明确两个方面：
一是在转化的过程中，把平行四边形剪一剪、拼一拼，最后得到的长方形和原来的平行四边形的面积是相等的(即等积转化)。在这个前提之下，长方形的长就是平行四边形的底，宽就是平行四边形的高，所以平行四边形的面积就等于底乘高。
二是在转化完成之后，应提醒学生反思“为什么要转化成长方形的”。因为长方形的面积先前已经会计算了，所以，将不会的生疏的知识转化成了已经会了的、可以解决的知识，从而解决了新问题。在此过程中转化的思想也就随之潜入学生的心中。其他图形的教学亦是如此。
五、集合思想方法。
小学数学教材中蕴涵着大量的集合思想，集合的思想和概念渗透于数学教学的各个阶段，我们不仅向学生传授知识，而且要把含在教材中的集合思想有意识地对学生进行渗透，这样有利于培养学生的抽象概括能力，有利于提高学生分析和解决问题的能力。教材采用直观手段，利用图形和实物渗透集合的思想方法。如：在教学求8和12的最大公约数时，可以制作课件或幻灯片，让学生从图中可以清楚直观地知道8和12的公约数是1、2和4，最大公约数是4，这样孕伏了交集的思想。
此外，还有类比思想、建模思想、组合思想、极限思想等，在此不一一列举。在小学数学教学中都应注意有目的、有选择、适时地进行渗透。渗透数学思想方法的策略有很多我认为：
1、在知识形成过程中渗透。
数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中，是有“形”的，而数学思想方法却隐含在数学知识体系里，是无“形”的，并且不成体系地分散在教材各章节之中。因此数学思想方法必须通过具体的教学过程加以实现。在教学中，要重视概念的形成过程；引导学生对定理、公式的探索、发现、推导的过程；最后再引导学生归纳得出结论。
2、在问题解决过程中渗透。
数学思想方法存在于问题的解决过程中，数学问题的步步转化无不遵循着数学思想方法的指导。数学思想方法在解决数学问题的过程中占有举足轻重的地位。渗透数学思想方法，不仅可以加快和优化问题解决的过程，而且还可以达到，会一题而明一路，通一类的效果。通过渗透，尽量让学生达到对数学思想方法内化的境界，提高独立获取知识的能力和独立解决问题的能力。
3、在反复运用过程中渗透。
在抓住学习重点、突破学习难点及解决具体数学问题中，数学思想方法是处理这些问题的精髓，这些问题的解决过程，无一不是数学思想方法反复运用的过程，因此，时时注意数学思想方法的运用既有条件又有可能，这是进行数学思想方法教学行之有效的普遍途径．数学思想方法也只有在反复运用中，得到巩固与深化。
总之，重视加强对学生进行数学思想方法的渗透不但有利于提高课堂教学效率，而且有利于提高学生的数学文化素养和思维能力。但是，对学生数学思想方法的渗透不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的，而是有一个过程。因此，在教学过程中，要有机地结合数学知识的内容，做到持之以恒、循序渐进和反复训练，才能使学生真正地领悟数学思想方法，实现质的飞跃。
学生的学习过程离不开思维活动，而思维活动又是凭借语言来完成的，语言表达的准确、完整，也反映了学生思维的准确性和完整性。在数学课堂中经常出现学生会做不会说、说不出的现象，尤其一年级的学生由于生活经验少，语言表达能力不强，更经常出现课堂中老师提出问题以后的冷场现象。要解决这一问题就必须从一年级开始，根据教材特点，有目的、有计划，多形式地对数学语言表达能力进行训练。
一、唤醒学生“说”的欲望。
一年级的孩子正处在多动期的阶段，他们的注意力往往不能集中，如果没有兴趣，他们的任何发展都是不可能的。因此，要唤醒学生说的欲望，就必须培养他们的学习兴趣。
小学生具有好奇心、喜欢被表扬的心理。因此，在教学中我一般都会根据学生的年龄特点及教学内容来创设各种情境，调动学生“说”的积极主动性，唤醒学生“说”的欲望，让学生想说、敢说、不怕说错，大胆表达。当学生说不出时，我会及时的劝解：“不要紧，慢慢想，下次你一定能说的。”；当学生说得不太完整时，我会帮助地说：“不错，如果你能再说的完成一些，答案就更准确了。”；当学生说错时，我会友善地说：“没关系，你可能某个地方搞错了，再想一想。”；当学生有独到见解时，我会毫不吝啬地给予表扬和鼓励：“你真肯动脑，太棒了！”当学生中出现彼此嘲笑的现象时，我会及时进行教育，让学生认识到嘲笑别人是不文明、不礼貌的行为，明白每个人在学习过程中都难免会出错。
如班里本学期新转入的陈浩轩同学，我观察他两个星期，几乎不主动举手发言，我提问他，他站着支支吾吾说不出来，于是我鼓励他：“没关系，大声地把你的想法说出来，说错了不要紧，老师和同学们一起帮助你。”终于，他大声地说出了自己的答案，我马上夸奖他说得好，而且声音响亮，告诉全班同学要向他学习。从那节课以后，数学课上当我提出问题，他经常主动举手发言。平时，我明确地告诉学生，当老师提出问题时，都可以大胆地说出自己的想法。现在班里的学生已经渐渐形成爱发言、想发言、抢发言的意识。
二、指导学生说的方法，训练学生学会表达。
要求学生能准确的把自己的思维活动，通过数学语言表达出来。教师就要经常指导学生“说”的方式、方法，从而使学生都说，说得正确。
1、教师做出说的示范。
在教学中，教师要有目的地为学生提供准确的语言模式，让学生知道应该怎样有条理地表达。一年级尤其需要教师一句一句的教，先说什么，后说什么。使学生感受到说话要有根据，按照一定条理说。
2、训练学生学会倾听
培养学生的数学语言表达能力，要训练学生学会倾听和模仿。教师的数学语言要做到准确、精炼，思路清楚。课堂提问要有目的性，使学生在老师的引导下，开动脑筋，充分发挥自己的主体作用来探索新知识。
3、训练学生把问题表述完整。
一年级的学生由于年龄特征，没有说完整话的意识，他们在回答问题时几乎都习惯简单地说出答案。因此，无论在教学的哪一个阶段都要对学生进行说完整话的训练。如在教学《比一比》时，提出问题“3比4怎样？”几乎所有学生都只简单地答“少”或“多”，这时就应及时让学生完整地说出“3比4少”、“4比3多”。培养学生完整地叙述问题，需要从学生的最基层学习开始，否则，等学生习惯了用简单的字、词回答问题，再纠正就比较困难了。
4、训练学生把事件说得有条理。
数学教学中要培养学生叙述的条理性。如在计算教学中，对于计算过程，也应训练学生有条理地叙述，从而培养学会正确的计算方法，促进学生的计算能力。
三、采用各种方式，训练学生的语音表达。
数学教学中，“说”的训练，不但要注意引导，还要注意训练方式的多样化，使人人都有说的机会：
1、老师示范，学生跟着说。
这在一年级的教学中是最重要的一环。这个年龄的学生还不懂怎样准确使用数学语言，但儿童的模仿能力都很强，要有目的地为学生提供准确的语言模式，然后让学生跟着说，随后也可适当指名让个后进生说，这样，让全班学生得到了锻炼，稍差的学生也能树立信心，从而提高他们的学习兴趣。
2、同桌交流。
新授课时，学生掌握了一定的方法，需要用语言及时地总结。简单的几句话，通过同桌间的互相交流，使学生掌握思路，并能举一反三，灵活运用。而班级中的学困生，也可在同桌的带动下，逐步学会叙述，正确地解答。如学习加法后，完成教科书中“做一做”的题目时，我让学生先把每幅图的意思说给同桌听，再独立填写算式。
3、小组合作讨论。
一年级刚开始实施小组合作学习的训练，要先告诉学生汇报的流程，让学生明确先说什么，再说什么，在说的过程中要说出自己的理由。小组合作学习使每一个学生都有发言的机会，也有听别人说的机会；既有面对小组中几个人发表自己见解的机会，又有面对全班同学说的机会。学生为了表达本组的意见，更加主动地思考、倾听，使全身心都处于主动学习的兴奋中，同时也增加了课堂学习的效果。
数学思维往往借助于数学语言进行，而数学语言又是非常严谨的，教师要在数学课上抓住一切机会，重视学生的说话训练，以“说”促“思”，充分挖掘每一位学生的潜能,培养学生学会说数学，让学生在说数学的过程中提高数学知识、技能，从而提高学生的基本素质。
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